Zerfallsgesetz und Halbwertszeit berechnen

Das Zerfallsgesetz beschreibt, wie viele Kerne eines radioaktiven Elements nach einer gewissen Zeit noch vorhanden sind. Radioaktiver Zerfall verläuft dabei nicht linear, sondern die Anzahl an Kernen eines instabilen Elements nimmt exponentiell ab. Dabei lässt sich nicht vorhersagen, wann ein bestimmtes Atom zerfällt, sondern lediglich die Summe der Atome zu einem bestimmten Zeitpunkt lässt sich berechnen. Nach der Halbwertszeit werden 50 % (also die Hälfte) der Atome zerfallen sein. Welche Atome es genau sein werden, bleibt ungewiss.

 

Das Zerfallsgesetzt beschreibt den Zerfall eines Elements mathematisch.

 

 

Die Halbwertszeit ist die Zeit nach der die Hälfte der Atome zerfallen ist.

 

Zerfallsgesetz Formel

Die Formel des Zerfallsgesetzes gibt an, wie viele Kerne eines radioaktiven Elements nach einer gewissen Zeit noch vorhanden sind. Berechnen könnt ihr die übrige Anzahl der Atome eines radioaktiven Stoffes mit folgender Formel:

Formel für den Zerfall von Atomen
  • N = Anzahl an nicht zerfallenen Kernen
  • N0 = Anzahl an Kernen zu Beginn
  • t = vergangene Zeit
  • T1/2 = Halbwertszeit des Elements (die Zeit nach der die Hälfte zerfallen ist)
  • λ = Zerfallskonstante

Beispielaufgabe zum Berechnen der übrigen Atome

In einer Probe sind 20.000 Atome (Halbwertszeit sind 5370 Jahre). Wie viele Atome sind nach 400 Jahren noch da? (N0=20.000;  T1/2=5370a;  t=400a)

 

Lösung: Gesucht ist N. Daher setzt ihr alles in die Formel von oben ein und berechnet die gefragte Anzahl an Atomen nach 400 Jahren:

 

Beispiel für die Berechnung der Anzahl von Atomen nach gewisser Zeit

 

Es sind also nach 400 Jahren noch 18.994 Atome übrig.

Hier seht ihr den Zerfall der Atome grafisch dargestellt. Die x-Achse ist die Zeit (in Jahren) und die y-Achse die Anzahl an Atomen.

Grafische Darstellung des Zerfalls eines C-14 Atoms mit der Zeit.

Halbwertszeit Formeln

Die Formeln zur Berechnung der Halbwertszeit eines Elements ergeben sich durch Umformen der oben genannten Formeln zum Zerfallsgesetz. Löst man diese nämlich nach der Halbwertszeit auf, ergibt sich folgendes:

Formel zur Berechnung der Halbwertszeit
  • N = Anzahl an nicht zerfallenen Kernen
  • N0 = Anzahl an Kernen zu Beginn
  • t = vergangene Zeit
  • T1/2 = Halbwertszeit des Elements (die Zeit nach der die Hälfte zerfallen ist)
  • T1/2 = Halbwertszeit des Elements (die Zeit nach der die Hälfte zerfallen ist)
  • λ = Zerfallskonstante

Beispiel zur Berechnung der Halbwertszeit

Ihr möchtet die Halbwertszeit eines Isotops berechnen, zu dem ihr nachfolgende Informationen habt. Zunächst gab es 100.000 Atome. Nach 30 Jahren waren nur noch 25.000 Atome. Die Berechnung der Halbwertszeit sieht dann wie folgt aus:

 

Beispiel zur Berechnung der Halbwertszeit

 

Nun wisst ihr, dass die Halbwertszeit dieses Elements 15 Jahre beträgt.

Tabelle mit Halbwertszeiten

In dieser Tabelle habt ihr eine kleine Auswahl an Elementen mit ihren Halbwertszeiten und den Zerfallskonstanten.

Element Halbwertszeit Zerfallskonstante λ (1/s)
Uran-238 4,5 ∙ 109 a 5,0 ∙ 10-18 
Plutonium-239 2,4 ∙ 104 a 9,2 ∙ 10-13 
Kohlenstoff-14 5730 a 3,9 ∙ 10-12 
Radium-226 1602 a 1,35 ∙ 10-11 
Polonium-210 138 d 5798 ∙ 10-8 
Thorium-216 26 ms 26.660

C-14 Methode

Woher weiß man, wie alt Mumien sind? Und woher wusste man, wann der Ötzi gestorben ist? Natürlich dank der Mathematik (und Physik). Im Körper ist nämlich eine bestimmte Menge an radioaktivem Kohlenstoff, auch C-14 genannt, welches nach dem Tod exponentiell abnimmt